Question

【題目】已知定圓C：x2+（y﹣3）2=4，定直線(xiàn)m；x+3y+6=0，過(guò)A（﹣1，0）的一條動(dòng)直線(xiàn)l與直線(xiàn)相交于N，與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，
（1）當(dāng)l與m垂直時(shí)，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明：l過(guò)圓心C；
（2）當(dāng)|PQ|=2 時(shí)，求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)閘與m垂直，直線(xiàn)m：x+3y+6=0的斜率為﹣ ，

所以直線(xiàn)l的斜率為3，

所以l的方程為y﹣0=3（x+1），即3x﹣y+3=0．

聯(lián)立 ，解得 ，

即有N（﹣ ，﹣ ），

代入圓心（0，3），有0﹣3+3=0成立，

所以直線(xiàn)l過(guò)圓心C（0，3）

（2）解：由|PQ|=2 得，圓心C到直線(xiàn)l的距離d=1，

設(shè)直線(xiàn)l的方程為x﹣ny+1=0，則由d= =1．

解得n=0，或n= ，

所以直線(xiàn)l的方程為x+1=0或4x﹣3y+4=0

【解析】（1）運(yùn)用兩直線(xiàn)垂直的條件：斜率之積為﹣1，求得l的斜率，可得直線(xiàn)l的方程，聯(lián)立直線(xiàn)m的方程，可得交點(diǎn)N，代入圓心，可得直線(xiàn)l過(guò)圓心；（2）由|PQ|=2 得，圓心C到直線(xiàn)l的距離d=1，設(shè)直線(xiàn)l的方程為x﹣ny+1=0，求得n的值，可得直線(xiàn)l的方程．