Question

【題目】函數f(x)＝aln x＋bx2圖象上點P(1，f(1))處的切線方程為2x－y－3＝0.

(1)求函數f(x)的解析式及單調區間；

(2)若函數g(x)＝f(x)＋m－ln 4在上恰有兩個零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）f′(x)＝＋2bx，f(x)的單調遞增區間為(0， )，單調遞減區間為(，＋∞)．（2）2<m≤4－2ln 2.

【解析】試題分析：（1）由導數的幾何意義知切線的斜率為點P處導數，點P也在切線上，構造方程組可得函數的解析式，再由函數的解析式進行求導，判斷導數大于零和小于零的區間，即函數的單調區間；（2）易知函數，令，分離變量，構造新的函數，對新函數求導判斷函數的單調性，再求出新函數的端點值和極值，從而可得實數m的取值范圍．

試題解析：∵切點在直線2x－y－3=0上，∴f（1）=－１．

,由已知得a=4,b=-1.

∴．

∴單調增區間為（0，），減區間為[，+

（2）f（x）的定義域為. =4lnx-x2+m-ln4.

令g（x）="0," 得4lnx-x2+m-ln4.=0m=x2-4lnx+ln4．

記.則,

當時,,單調遞減;

當時,,單調遞增.

,.

由題意,．