Question

已知

a

=(1，-2)，

b

=(x，y)，
（Ⅰ）若x是從-1，0，1，2四個數中任取的一個數，y是從-1，0，1三個數中任取的一個數，求

a

⊥

b

的概率．
（Ⅱ）若x是從區間[-1，2]中任取的一個數，y是從區間[-1，1]中任取的一個數，求

a

，

b

的夾角是銳角的概率．

Answer 1

分析：（I）由題意知本題是一個等可能事件的概率，根據兩個向量垂直得到x，y之間的關系，列舉出所有的事件和符合條件的事件，根據概率公式做出概率．
（II）設“

a

，

b

的夾角是銳角”為事件B，由

a

，

b

的夾角是銳角，可得

a

•

b

＞0，即x-2y＞0，且y≠-2x，Ω={（x，y）|-1≤x≤2，-1≤y≤1}B={（x，y）|-1≤x≤2，-1≤y≤1，x-2y≥0，y≠-2x}，做出面積，做出概率．

解答：解：（Ⅰ）設“

a

⊥

b

”為事件A，由

a

⊥

b

，得x-2y=0
Ω={（-1，-1），（-1，0），（-1，1），（0，-1），（0，0），（0，1），
（1，-1），（1，0），（1，1），（2，-1），（2，0），（2，1）}
共包含12個基本事件；其中A={（0，0），（2，1）}，包含2個基本事件．
則P(A)=

2

12

=

1

6

（Ⅱ）設“

a

，

b

的夾角是銳角”為事件B，由

a

，

b

的夾角是銳角，可得

a

•

b

＞0，即x-2y＞0，且y≠-2x
Ω={（x，y）|-1≤x≤2，-1≤y≤1}B={（x，y）|-1≤x≤2，-1≤y≤1，x-2y≥0，y≠-2x}
則P(B)=

μB

μΩ

=

1 2 ×( 1 2 +2)×3

3×2

=

5

8

答：（Ⅰ） 

a

⊥

b

的概率是

1

6

；（Ⅱ）

a

，

b

的夾角是銳角的概率是

5

8

點評：本題看出古典概型和幾何概型，對于文科學生來講，古典概型和幾何概型是兩種重要的概率模型．要注意分清兩種概率模型的基本特征，并注意解題的規范性．