Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AB＝2，E是PB的中點，F是AD的中點．

（Ⅰ）求證：EF⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角F－PC－B的平面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）見解析   （Ⅱ）

(I)根據線面垂直的判定定理，只須證明,從而證明出平面,然后證明出ＧＤ／／ＥＦ，問題到此基本得以解決.
(II)關鍵是作出二面角的平面角，連結，易證：,,所以是二面角的平面角,然后解三角形求角即可
（Ⅰ）取的中點，連結，則//，且,

又∵//，且,∴//且,∴四邊形為平行四邊形,∴//.……………………… 3分
由于平面,∴,又,∴平面,又平面,∴,在等腰直角三角形中，由為中點，∴,
，∴平面, ……………………………………………… 5分
∵//,∴平面. ………………………………………………… 6分
（Ⅱ）連結，∵,//,∴， ∵平面,∴,,∴平面，, ∴是二面角的平面角.…………… 9分
在中，,，
，所以二面角的平面角的余弦值為