Question

已知點P（4，4），圓C：（x-m）²+y²=5（m＜3）與橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)有一個公共點A（3，1），F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，直線PF₁與圓C相切．
（1）求直線PF₁的方程；
（2）求橢圓E的方程；
（3）設Q為橢圓E上的一個動點，求證：以QF₁為直徑的圓與圓x²+y²=18相切．

Answer 1

分析：（1）因為A（3，1）在⊙C上，所以

(3-m)2=4 m＜3

，m=1．所以⊙C：（x-1）²+y²=5．設直線PF₁方程：y-4=k（x-4），由題設知：

|4-3k|

k2+1

=

5

，k=

11

2

或k=

1

2

．由此能求出直線PF₁方程．
（2）由F₁（-4，0），知F₂（4，0），a²-b²=16．由2a=AF1+AF2=

50

+

2

=6

2

，知a=3

2

，b²=2，由此能求出橢圓E的方程．
（3）設QF₁的中點為M，連QF₂．OM=

1

2

QF2=

1

2

(6

2

-QF1)=3

2

-

1

2

QF1，由此能證明以QF₁為直徑的圓與圓x²+y²=18相切．

解答：解：（1）因為A（3，1）在⊙C上，
所以，

(3-m)2=4 m＜3

，m=1．
所以，⊙C：（x-1）²+y²=5．（2分）
易知直線PF₁的斜率存在，設直線PF₁方程：y-4=k（x-4），
即：kx-y+（4-4k）=0
題設有：

|4-3k|

k2+1

=

5

，
k=

11

2

或k=

1

2

（4分）
k=

11

2

時，直線PF₁方程

11

2

x-y-18=0，
令y=0，則x=

36

11

＞0，不合題意（舍去）
k=

1

2

時，直線PF₁方程：x-2y+4=0．
令y=0，則x=-4＜0滿足題設．
所以，直線PF₁方程為：x-2y+4=0．（6分）
（2）由（1）知F₁（-4，0），
所以，F₂（4，0），a²-b²=16①（7分）
又2a=AF1+AF2=

50

+

2

=6

2

所以，a=3

2

（9分）
所以，b²=2（10分）
橢圓E的方程：

x2

18

+

y2

2

=1．（11分）
（3）設QF₁的中點為M，連QF₂．
則OM=

1

2

QF2=

1

2

(6

2

-QF1)=3

2

-

1

2

QF1（15分）
所以，以QF₁為直徑的圓內切于圓x2+y2=(3

2

)2，
即x²+y²=18．（16分）

點評：本題考查直線方程和橢圓方程的求法，證明以QF₁為直徑的圓與圓x²+y²=18相切．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，靈活運用圓錐曲線的性質，合理地進行等價轉化．