Question

已知函數（k為常數，e=2.71828……是自然對數的底數），曲線在點處的切線與x軸平行。
（1）求k的值；
（2）求的單調區間；
（3）設，其中為的導函數，證明：對任意，。

Answer 1

（1）；(2)單調遞增區間為，單調遞減區間為;(3)詳見解析.

解析試題分析：（1）先求導函數，由導數的幾何意義得，列方程求；（2）求的解集和定義域求交集，得單調遞增區間；求的解集并和定義域求交集，得單調遞減區間，該題，可觀察當時，；時，.所以單調區間可求；（3）思路一：考慮的最大值，證明最大值小于即可，但是考慮到解析式的復雜性，可對不等式等價變形；思路二：原不等式等價于
，記，利用導數可求其最大值為，從圖象可以判斷的圖象在直線的上方，也就是說恒成立，故，所以命題得證.
試題解析：(Ⅰ)由得由于曲線在處的切線與x軸平行，所以，因此
（Ⅱ）由(Ⅰ)得，令當時，；當時，又，所以時，；時，. 因此的單調遞增區間為（0,1），單調遞減區間
(Ⅲ)證明因為，所以因此對任意等價于 由（Ⅱ）知
所以因此當時，單調遞增；當時單調遞增. 所以的最大值為 故 設因為，所以時，單調遞增，
故時，即所以因此對任意
考點：1、導數的幾何意義；2、導數 在單調性上的應用；3、利用導數求函數的最值.