Question

【題目】由數字1，2，…，6構成的且含有1，6相鄰的n位數有多少個?

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

設所求的n位數有個.

記個數中首位數字是1的有個.

在每一個中交換1和6的位置得個數中首位數字是6的也有個.

個數可分三類：

（1）個數中首位數字是1的n位數，這樣的數有個.

（2）個數中首位數字是6的n位數，這樣的數有個.

（3）個數中首位數字是2、3、4、5之一的n位數，這樣的數的后位數，共有個.

故. ①

而個數中首位數字是1的n位數也可分三類：

（1）第二位是6的n位數，這些數的后n-2位上的數字可以是1，2，…，6中的任意一個，共有個；

（2）第二位仍是1的n位數，這些數從第二位起的后n-1位上的數字是由數字1，2，…，6構成的首位數字是1且含有1、6相鄰的n-1位數，共有個；

（3）第二位是2、3、4、5之一的且含有1、6相鄰的n位數，這些數的后n-2位是由數字1，2，…，6構成的且含有1、6相鄰的數，共有個.

故. ②

由式①、②得

.

又，從而，

.

令.則

，

其中，.

故.

再令.于是，

.

則.

故.