Question

【題目】定義在上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的上界.已知函數(shù)，.

（1）當時，求函數(shù)在上的值域，并判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù)，請說明理由；

（2）①當時，判斷函數(shù)的奇偶性并證明，并判斷是否有上界，并說明理由；

②若，函數(shù)在上的上界是，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)函數(shù)在上不是有界函數(shù)；(2)①奇函數(shù)，證明見解析，有上界，理由解析；②.

【解析】

試題分析：(1)借助題設條件運用有界函數(shù)的定義及指數(shù)函數(shù)的有關知識求解；(2)借助題設運用函數(shù)的奇偶性及函數(shù)的單調性等有關知識求解推證.

試題解析：

（1）當時，

因為在上遞減，所以，

即在的值域為

故不存在常數(shù)，使成立

所以函數(shù)在上不是有界函數(shù).

注：令，……再求出的值域，同樣給分.

（2）①當時，，顯然定義域為,

又

∴為奇函數(shù).

由于，

∴，存在為上界

②，

∵，，∴在上遞減，

∴，即

，∴

∴