Question

甲乙兩名跳高運動員一次試跳2米高度成功的概率分別為0.7和0.6，且每次試跳成功與否相互之間沒有影響．
求：（Ⅰ）甲試跳三次，第三次才成功的概率；
（Ⅱ）甲、乙各試跳兩次，甲比乙的成功次數恰好多一次的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意知每次試跳成功與否相互之間沒有影響，本題是一個相互獨立事件同時發生的概率，甲第三次試跳才成功表示甲前兩次試跳不成功，而第三次試跳成功，根據相互獨立事件同時發生的概率，得到結果．
（2）甲、乙各試跳兩次，甲比乙的成功次數恰好多一次包括甲兩次成功且乙一次試跳成功，或是甲一次成功且乙沒有成功，這兩種情況互斥的且兩種情況中的兩個事件之間是相互獨立的，根據公式得到結果．

解答：解：（Ⅰ）由題意知本題是一個相互獨立事件，
記“甲第i次試跳成功”為事件A_i，
“乙第i次試跳成功”為事件B_i，
依題意，得P（A_i）=0.7，P（B_i）=0.6，
且A_i，B_i（i=1，2，3）相互獨立．
“甲第三次試跳才成功”為事件

.

A1

.

A2

A3，
且三次試跳相互獨立．
∴P(

.

A1

.

A2

A3)=P(

.

A1

)P(

.

A2

)P(A3)
=0.3×0.3×0.7=0.063．
（Ⅱ）設“甲在兩次試跳中成功i次”為事件M_i（i=0，1，2），
“乙在兩次試跳中成功i次”為事件N_i（i=0，1，2），
∴事件“甲、乙各試跳兩次，甲比乙的成功次數恰好多一次”
可表示為M₁N₀+M₂N₁，且M₁N₀、M₂N₁為互斥事件．
∴P（M₁N₀+M₂N₁）=P（M₁N₀）+P（M₂N₁）
=P（M₁）P（N₀）+P（M₂）P（N₁）
=C₂¹×0.7×0.3×0.4²+0.7²×C₂¹×0.6×0.4
=0.0672+0.2352=0.3024．

點評：考查運用概率知識解決實際問題的能力，相互獨立事件是指，兩事件發生的概率互不影響，而對立事件是指同一次試驗中，不會同時發生的事件，遇到求用至少來表述的事件的概率時，往往先求它的對立事件的概率．