Question

(本小題15分)已知函數.
(1)當時,求的單調遞增區間;
(2)是否存在,使得對任意的,都有恒成立.若存在,求出的取值范圍; 若不存在,請說明理由.

Answer 1

(1) 。(2)存在，

解析試題分析：(1)
當時,, ∴在上單增, …………………2分
當>4時,, ∴的遞增區間為…….6.分
(2)假設存在,使得命題成立,此時.
∵,    ∴.
則在和遞減,在遞增.
∴在[2,3]上單減,又在[2,3]單減.
∴. …………………10分
因此,對恒成立.
即, 亦即恒成立.
∴    ∴. 又 故的范圍為...15分
考點：本題考查利用導數求函數的單調區間、導數在最大值、最小值問題中的應用及恒成立的問題。
點評：利用導數研究含參函數的單調區間，關鍵是解不等式，因此要研究含參不等式的解法，應注意對參數的討論；研究是否存在問題，通常先假設存在，轉化為封閉性問題，對于恒成立問題，一般應利用到函數的最值，而最值的確定又通常利用導數的方法解決．