Question

已知定義在R上的單調遞增奇函數以f（x），若當0≤θ≤

π

2

時，f（cosθ+msinθ）+f（-2m-2）＜0恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：利用定義在R上的單調遞增奇函數，當0≤θ≤

π

2

時，f（cosθ+msinθ）+f（-2m-2）＜0恒成立，等價于cosθ+msinθ＜2m+2，當0≤θ≤

π

2

時恒成立，分離參數，確定其范圍，即可得到結論．

解答：解：∵當0≤θ≤

π

2

時，f（cosθ+msinθ）+f（-2m-2）＜0恒成立，函數是奇函數，

∴當0≤θ≤

π

2

時，f（cosθ+msinθ）＜f（2m+2）恒成立，
∵函數是定義在R上的單調遞增函數，
∴cosθ+msinθ＜2m+2，當0≤θ≤

π

2

時恒成立，
∴m＞

2-cosθ

sinθ-2

令t=

cosθ-2

sinθ-2

，其幾何意義是（sinθ，cosθ）（0≤θ≤

π

2

）與（2，2）連線的斜率
∴

1

2

＜t＜2
∴-2＜

2-cosθ

sinθ-2

＜-

1

2

∴m＞-

1

2

．

點評：本題考查函數單調性與奇偶性的結合，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．