Question

拋物線在點(diǎn)，處的切線垂直相交于點(diǎn)，直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)的距離；

（2）設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，試問：是否存在直線，使得，，成等比數(shù)列？若存在，求直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）;（2）不存在.

【解析】

試題分析：（1）分別求出拋物線與橢圓的焦點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間距離公式求解；（2）設(shè)直線與拋物線相交于與橢圓相交于,,所以直線與拋物線方程聯(lián)立，得到和然后利用,求出切線，的斜率，利用切線垂直，,解出m,然后分別設(shè)出過點(diǎn)的切線方程，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求,直線與曲線相交的弦長公式求,若，，成等比數(shù)列，則,化簡等式，通過看方程實(shí)根情況.

試題解析：（I）拋物線的焦點(diǎn)， 1分

橢圓的左焦點(diǎn)， 2分

則． 3分

（II）設(shè)直線，，，，，

由，得， 4分

故，．

由，得，

故切線，的斜率分別為，，

再由，得，

即，

故，這說明直線過拋物線的焦點(diǎn)． 7分

由，得，

,即． 8分

于是點(diǎn)到直線的距離. 9分

由，得， 10分

從而， 11分

同理，． 12分

若，，成等比數(shù)列，則， 13分

即，

化簡整理，得，此方程無實(shí)根，

所以不存在直線，使得，，成等比數(shù)列． 15分

考點(diǎn)：1.橢圓與拋物線的性質(zhì)；2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；3.直線與曲線的交點(diǎn)問題；4.弦長公式.