Question

已知異面直線a與b成80°的角，p為空間一定點(diǎn)，則過點(diǎn)p與a，b所成的角都是50°的直線有且僅有（　　）

A．1條

B．2條

C．3條

D．4條

Answer 1

分析：在空間取一點(diǎn)P，經(jīng)過點(diǎn)P分別作a∥a'，b∥b'，設(shè)直線a'、b'確定平面α．由異面直線所成角的定義，得a'、b'所成銳角等于80°，經(jīng)過P的直線PM的射影P在a'、b'所成銳角的平分線上時，存在兩條直線與a'，b'所成的角都是50°，當(dāng)PM的射影PQ在a'、b'所成鈍角的平分線上時，存在1條直線與a'，b'所成的角都是50°，由此可得本題答案．

解答：解：在空間取一點(diǎn)P，經(jīng)過點(diǎn)P分別作a∥a'，b∥b'，
設(shè)直線a'、b'確定平面α，
當(dāng)直線PM滿足它的射影PQ在a'、b'所成角的平分線上時，
PM與a'所成的角等于PM與b'所成的角
因?yàn)橹本�a，b所成的角為80°，得a'、b'所成銳角等于80°
所以當(dāng)PM的射影PQ在a'、b'所成銳角的平分線上時，
PM與a'、b'所成角的范圍是[40°，90°）．
這種情況下，過點(diǎn)P有兩條直線與a'，b'所成的角都是50°
當(dāng)PM的射影PQ在a'、b'所成鈍角的平分線上時，PM與a'、b'所成角的范圍是[50°，90°）．
這種情況下，過點(diǎn)P有且只有一條直線（即PM?α?xí)r）與a'，b'所成的角都是50°
綜上所述，過空間任意一點(diǎn)P可作與a，b所成的角都是50°的直線有3條
故選：C

點(diǎn)評：本題給出兩條直線所成角為80°，求過空間一點(diǎn)P可作與a，b所成的角都是50°的直線的條數(shù)．著重考查了空間兩條異面直線所成角及其求法等知識，屬于基礎(chǔ)題．