Question

(本小題滿分14分)

已知點P ( t , y )在函數f ( x ) = (x ?? –1)的圖象上，且有t² – c²at + 4c² = 0 ( c ?? 0 ).

(1) 求證：| ac | ?? 4;(2) 求證：在(–1，+∞）上f ( x )單調遞增.(3) (僅理科做)求證：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.

Answer 1

(Ⅰ) 略  (Ⅱ)  略（Ⅲ）略

解析:

：(1) ∵ t??R, t ?? –1,   ∴ ⊿ = (–c²a)² – 16c² = c⁴a² – 16c² ?? 0 ， ∵ c ?? 0,  ∴c²a² ?? 16 , 

∴| ac | ?? 4.

  (2)  由 f ( x ) = 1 – ,

法1. 設–1 < x₁ < x₂, 則f (x₂) – f ( x₁) = 1– –1 + = .

∵ –1 < x₁ < x₂, ∴ x₁ – x₂ < 0,  x₁ + 1 > 0,  x₂ + 1 > 0 ,

∴f (x₂) – f ( x₁) < 0 , 即f (x₂) < f ( x₁) ,   ∴x ?? 0時，f ( x )單調遞增.

    法2. 由f ` ( x ) = > 0 得x ?? –1,  ∴x > –1時，f ( x )單調遞增.

（3）（僅理科做）∵f ( x )在x > –1時單調遞增，| c | ??  > 0 ,

     ∴f (| c | ) ?? f () = =

f ( | a | ) + f ( | c | ) = + > +=1.

    即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.