Question

【題目】已知邊長為的等邊三角形的一個頂點位于原點，另外兩個頂點在拋物線：（）上.

（1）求拋物線的方程；

（2）直線交拋物線于，兩點，交拋物線的準線于點，交軸于點，若.證明：直線過定點，并求出定點坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；定點.

【解析】

（1）利用拋物線的對稱性，可知點在拋物線上，將點代入拋物線方程，求出值，進而得解；

（2先求出拋物線的準線方程，設出直線的方程，求出點和點坐標，設出點和點坐標，聯立直線的方程與拋物線方程，得到，，然后進行向量數量積的坐標運算，化簡，并將韋達定理代入，可得，求出的值，進而得解.

（1），

因為邊長為的等邊三角形的一個頂點位于原點，

另外兩個頂點在拋物線：（）上，

并且，該拋物線關于軸對稱，

所以點在拋物線上，

所以，解得，

所以拋物線的方程為.

（2）證明：由（1）得拋物線的準線的方程為.

設直線的方程為（），

令，解得，所以，

，解得，所以，

由得，得，其中.

設，，則，，

則，，

，，

.

由，得，解得，

所以直線的方程為，因此直線過定點.