Question

有下列幾個命題：①若

a

與

b

-

c

都是非零向量，則“

a

•

b

=

a

•

c

”是“

a

⊥(

b

-

c

)”的充要條件；②已知等腰△ABC的腰為底的2倍，則頂角A的正切值是

15

7

；③在平面直角坐標系xoy中，四邊形ABCD的邊AB∥DC，AD∥BC，已知點A（-2，0），B（6，8），C（8，6），則D點的坐標為（0，-1）；④設

a

，

b

，

c

為同一平面內具有相同起點的任意三個非零向量，且滿足

a

與

b

不共線，

a

⊥

c

，|

a

|=|

c

|，則|

b

•

c

|的值一定等于以

a

，

b

為鄰邊的平行四邊形的面積．其中正確命題的序號是

 

．（寫出全部正確結論的序號）

Answer 1

分析：根據向量垂直時，數量積為0，我們結合充要條件的定義，可以判斷①的真假；根據二倍角的正切公式，我們可以判斷②的真假；根據平行四邊形的判定及性質，求出D點坐標，可以判定③的真假；根據向量數量積公式，及三角形面積公式，可以判斷④真假，進而得到答案．

解答：解：若

a

與

b

-

c

都是非零向量，則“

a

•

b

=

a

•

c

”⇒“

a

⊥(

b

-

c

)”為真，“

a

⊥(

b

-

c

)”⇒“

a

•

b

=

a

•

c

”為真，故①正確；
若等腰△ABC的腰為底的2倍，則sin

A

2

=

1

4

，cos

A

2

=

15

4

，進而得到頂角A的正切值為

15

7

，故②正確；
在平面直角坐標系xoy中，四邊形ABCD的邊AB∥DC，AD∥BC，已知點A（-2，0），B（6，8），C（8，6），則D點的坐標為（0，-2），故③錯誤；
由向量

a

與

b

不共線，

a

⊥

c

，|

a

|=|

c

|，設＜

a

，

b

＞=θ，則|

b

•

c

|=|

b

|•|

c

|•cos（90°-θ）=|

b

|•|

a

|•sinθ，等于以

a

，

b

為鄰邊的平行四邊形的面積，故④正確．
故答案為：①②④

點評：本題考查的知識點是零向量，必要條件、充分條件與充要條件的判斷，平等向量與共線向量，數量積判斷兩個平面向量的垂直關系，其中熟練掌握上述基本知識點是解答本題的關鍵．