Question

【題目】新冠病毒是一種通過飛沫和接觸傳播的變異病毒，為篩查該病毒，有一種檢驗方式是檢驗血液樣本相關指標是否為陽性，對于份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：一是逐份檢驗，則需檢驗次．二是混合檢驗，將其中份血液樣本分別取樣混合在一起，若檢驗結果為陰性，那么這份血液全為陰性，因而檢驗一次就夠了；如果檢驗結果為陽性，為了明確這份血液究竟哪些為陽性，就需要對它們再逐份檢驗，此時份血液檢驗的次數總共為次．某定點醫院現取得4份血液樣本，考慮以下三種檢驗方案：方案一，逐個檢驗；方案二，平均分成兩組檢驗；方案三，四個樣本混在一起檢驗．假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本檢驗結果是陽性還是陰性都是相互獨立的，且每份樣本是陰性的概率為．

（Ⅰ）求把2份血液樣本混合檢驗結果為陽性的概率；

（Ⅱ）若檢驗次數的期望值越小，則方案越“優”．方案一、二、三中哪個最“優”？請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）選擇方案三最“優”，理由見解析

【解析】

（Ⅰ）根據獨立事件和對立事件概率公式可計算求得結果；

（Ⅱ）確定方案二和方案三檢驗次數所有可能的取值，并求得每個取值對應的概率，進而得到分布列，由數學期望的計算公式計算得到期望，與方案一的期望進行比較，得到最優方案.

（Ⅰ）該混合樣本陰性的概率為：，

根據對立事件原理，陽性的概率為：．

（Ⅱ）方案一：逐個檢驗，檢驗次數為．

方案二：由（Ⅰ）知，每組個樣本檢驗時，若陰性則檢驗次數為，概率為；

若陽性則檢驗次數為，概率為，

設方案二的檢驗次數記為，則的可能取值為，

；；，

則的分布列如下：

可求得方案二的期望為．

方案三：混在一起檢驗，設方案三的檢驗次數記為，的可能取值為，，

，，

則的分布列如下：

可求得方案三的期望為．

比較可得，故選擇方案三最“優”．