Question

【題目】如圖，在三棱臺ABO﹣A1B1O1中，側面AOO1A1與側面OBB1O1是全等的直角梯形，且OO1⊥OB，OO1⊥OA，平面AOO1A1⊥平面OBB1O1 ， OB=3，O1B1=1，OO1= ．

（1）證明：AB1⊥BO1；
（2）求直線AO1與平面AOB1所成的角的正切值；
（3）求二面角O﹣AB1﹣O1的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由題設知OA⊥OO1，且平面AOO1A1⊥平面OBB1O1，

平面AOO1A1∩平面OBB1O1=OO1，

則OA⊥平面OBB1O1，所以OA⊥OB，OA⊥BO1，

又因為 ．O1B1=1，OB=3，

所以∠OO1B=60°，∠O1OB1=30°，

從而OB1⊥BO1，又因為OA⊥BO1，OB1∩OA=O，

故BO1⊥平面AOB1，又AB1平面AOB1，故AB1⊥BO1

（2）解：以O為原點，OA、OB、OO1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，

如圖，則A（3，0，0），B（0，3，0），B1（0，1， ），O1（0，0， ）．

由（1）知BO1⊥平面OA B1，從而 是平面OA B1的一個法向量．

， ，

設直線AO1與平面AOB1所成的角為α，

．cosα= = ，

tanα= = ．

∴直線AO1與平面AOB1所成的角的正切值為

（3）解：由（II）知 是平面OA B1的一個法向量．且 ，

設 是平面O1A B1的一個法向量，

由 ，得 ．

設二面角O﹣AB1﹣O1的大小為，

則cosθ=cos＜， ＞=

即二面角O﹣AB1﹣O1的余弦值是

【解析】（1）推導出OA⊥OB，OA⊥BO1 ， OB1⊥BO1 ， OA⊥BO1 ， 從而BO1⊥平面AOB1 ， 由此能證明AB1⊥BO1 ． （2）以O為原點，OA、OB、OO1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線AO1與平面AOB1所成的角的正切值．（3）求出平面OA B1的一個法向量和平面O1A B1的一個法向量，利用向量法能求出二面角O﹣AB1﹣O1的余弦值．
【考點精析】本題主要考查了空間角的異面直線所成的角的相關知識點，需要掌握已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．