Question

已知sin（2α+β）=3sinβ，設tanα=x，tanβ=y，設y=f（x）
（Ⅰ）求證：tan（α+β）=2tanα；　　　（Ⅱ）求f（x）的解析式；
（Ⅲ）已知數列a_n滿足an=

1

f(n)

，問數列是否存在最小項，若有求出此項，若無說明理由？

Answer 1

分析：（Ⅰ） 利用兩角和差的正弦公式把sin（α+β+α）=3sin（α+β-α） 展開、移項化簡可得sin（α+β）cosα=2 cos（α+β）sinα，
再利用同角三角函數的基本關系可證得tan（α+β）=2tanα．
（Ⅱ） 把 tan（α+β）=2tanα 利用兩角和的正切公式 展開可得

x+y

1-xy

=2x，即 y=

x

1+2x2

．
（Ⅲ）由條件可得a_n=

1

n

+2n≥2

2

，當且僅當n=

2

2

 時取等號，由于n∈N₊，故數列不存在最小項．

解答：解：（Ⅰ）∵sin（2α+β）=3sinβ，∴sin（α+β+α）=3sin（α+β-α），
∴sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα，∴sin（α+β）cosα=2 cos（α+β）sinα，
∴tan（α+β）=2tanα．
（Ⅱ） 設tanα=x，tanβ=y，由（Ⅰ）可得

x+y

1-xy

=2x，∴y=

x

1+2x2

，即 f（x）=

x

1+2x2

．
（Ⅲ）∵數列a_n滿足 an=

1

f(n)

，∴a_n=

1+2n2

n

=

1

n

+2n≥2

2

，當且僅當

1

n

=2n，即 n=

2

2

 時取等號．
由于n∈N₊，故數列不存在最小項．

點評：本題考查兩角和差的正弦、正切公式的應用，同角三角函數的基本關系，基本不等式的應用，求出f（x）的解析式，是解題的難點．