Question

如圖，已知△AOB，∠AOB＝，∠BAO＝，AB＝4，D為線段AB的中點(diǎn)．若△AOC是△AOB繞直線AO旋轉(zhuǎn)而成的．記二面角B－AO－C的大小為．
（Ⅰ）當(dāng)平面COD⊥平面AOB時(shí)，求的值；
（Ⅱ）當(dāng)∈[，]時(shí)，求二面角C－OD－B的余弦值的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，在平面OBC內(nèi)垂直于OB的直線為x軸，OB，OA所在的直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，則A (0，0，2)，B (0，2，0)， D (0，1，)，C (2sin，2cos，0)．設(shè)＝(x，y，z)為平面COD的一個(gè)法向量，
由　得，
取z＝sin，則＝(cos，－sin，sin)．
因?yàn)槠矫鍭OB的一個(gè)法向量為＝(1，0，0)，
由平面COD⊥平面AOB得＝0，
所以cos＝0，即＝．　　　　　　　　　        ………………7分

（Ⅱ）設(shè)二面角C－OD－B的大小為，由(Ⅰ)得當(dāng)＝時(shí)， cos＝0；
當(dāng)∈(，]時(shí)，tan≤－，
cos= ＝＝－， 故－≤cos＜0．
綜上，二面角C－OD－B的余弦值的取值范圍為[－，0]．

（1）平面COD⊥平面AOB，建立坐標(biāo)系，根據(jù)法向量互相垂直求得；（Ⅱ）求兩個(gè)平面的法向量的夾角。