Question

（本小題滿分12分）

     如圖，在三棱柱中，所有的棱長都為2，.

     （Ⅰ）求證：；

     （Ⅱ）當三棱柱的體積最大時，求平面與平面所成的銳角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）略（Ⅱ）

解析:

（Ⅰ）證明：取的中點，連接，

在三棱柱中，所有棱長都為2，

則，所以平面

而平面，故

（Ⅱ）當三棱柱的體積最大時，點到平面的距離最大，此時平面.設平面與平面的交線為，

在三棱柱中，，平面，則，

過點作交于點，連接.由，知平面，

則，故為平面與平面所成二面角的平面角。

在中，,則

在中，，,

即平面與平面所成銳角的余弦值為。

方法2：當三棱柱的體積最大時，點到平面的距離最大，此時平面.以所在的直線分別為軸，建立直角坐標系，依題意得.

由得，設平面的一個法向量為

而，則，取

而平面，則平面的一個法向量為

于是，

故平面與平面所成銳角的余弦值為。