Question

下列函數中既有奇函數，又在區間[-1，1]上單調遞增的是（　　）

• A、f（x）=sin2x
• B、f（x）=x+tanx
• C、f（x）=x³-x
• D、f（x）=2^x+2^-x

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：直接結合函數奇偶性的概念和常見函數的單調性進行逐個判斷即可．

解答：解：對于選項A：
∵f（x）=sin2x，
∴f（-x）=sin（-2x）=-sin2x=f（x）
∴f（x）為奇函數，
且該函數的單調增區間為[-

π

4

+kπ，

π

4

+kπ]，（k∈Z），
∴[-

π

4

，

π

4

]上為增函數，
∴在區間[-1，1]上不是單調遞增，
∴選項A不符合條件；
對于選項B：
∵f（x）=x+tanx，
∴f（-x）=-x+tan（-x）=-（x+tanx）=-f（x）
∴f（x）為奇函數，
在區間[-1，1]上是單調遞增，
∴選項B符合條件；
對于選項C：
f（x）=x³-x，
f（-x）=（-x）³-（-x）=-（x³-x）=-f（x），]
∵f′（x）=3x²-1，
f′（x）≥0，
∴x≥

3

3

，
∴[

3

3

，+∞）上為增函數，
∴在區間[-1，1]上不是單調遞增，
∴選項C不符合條件；
對于選項D：
∵f（x）=2^x+2^-x，
∴f（-x）=2^-x+2^x=f（x），
∴f（x）為偶函數，
∴選項D不符合條件；
故選B．

點評：本題重點考查函數的基本性質，對于奇偶性和單調性需要切實注意區間的對稱性問題，屬于基礎題．