Question

（滿分16分）已知函數，其中是自然對數的底數.
（1）證明：是上的偶函數；
（2）若關于的不等式在上恒成立，求實數的取值范圍；
（3）已知正數滿足：存在，使得成立，試比較與的大小，并證明你的結論.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）；（3）當時，，當時，，當時，．

試題分析：
試題解析：（1）證明：函數定義域為，∵，∴是偶函數．
（2）由得，由于當時，，因此，即，所以，令，設，則，，∵，∴（時等號成立），即，，所以．
（3）由題意，不等式在上有解，由得，記，，顯然，當時，（因為），故函數在上增函數，，于是在上有解，等價于，即．考察函數，，當時，，當時，，當時，即在上是增函數，在上是減函數，又，，，所以當時，，即，，當時，，，即，，因此當時，，當時，，當時，．
【考點】（1）偶函數的判斷；（2）不等式恒成立問題與函數的交匯；（3）導數與函數的單調性，比較大小．