Question

（本小題共13分）
已知集合對于，，定義A與B的差為

A與B之間的距離為
（Ⅰ）證明：，且;
（Ⅱ）證明：三個數中至少有一個是偶數
(Ⅲ) 設P，P中有m(m≥2)個元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為(P).
證明：（P）≤.
（考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）

Answer 1

（I）見解析（II）見解析(III)見解析

證明：（I）設，，
因為，，所以, 
從而
又
由題意知，，.
當時，;
當時，
所以
(II)設，，
，，.
記，由（I）可知



所以中1的個數為，的1的
個數為。
設是使成立的的個數，則
由此可知，三個數不可能都是奇數，
即,,三個數中至少有一個是偶數。
（III）,其中表示中所有兩個元素間距離的總和，
設種所有元素的第個位置的數字中共有個1，個0
則=
由于
所以
從而