Question

（2013•資陽一模）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是函數f(x)=

3

2

-

2

2x+ 2

圖象上任意兩點，且x₁+x₂=1．
（Ⅰ）求y₁+y₂的值；
（Ⅱ）若Tn=f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n

n

)（其中n∈N^*），求T_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設an=

2

Tn

（n∈N^*），若不等式a_n+a_n+1+a_n+2+…+a_2n-1＞log_a（1-2a）對任意的正整數n恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據已知條件A，B在函數f（x）上，代入求出y₁和y₂，再利用x₁+x₂=1進行化簡求值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，當x₁+x₂=1時，y₁+y₂=2，利用倒敘相加法進行求和；
（Ⅲ）根據已知條件利用an=

2

Tn

（n∈N）將要證明的命題進行轉化

2

n+1

+

2

n+2

+…+

2

2n

＞loga(1-2a)，只要求出

2

n+1

+

2

n+2

+…+

2

2n

的最小值即可；

解答：解：（Ⅰ）∵A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是函數f(x)=

3

2

-

2

2x+ 2

圖象上任意兩點，且x₁+x₂=1．
y₁+y₂=

3

2

-

2

2x1+ 2

+

3

2

-

2

2x2+ 2

=3-(

2

2x1+ 2

+

2

2x2+ 2

)=3-

4+ 2 (2x1+2x2)

2x1+x2+ 2 (2x1+2x2)+2

=3-

4+ 2 (2x1+2x2)

2+ 2 (2x1+2x2)+2

=2．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，當x₁+x₂=1時，y₁+y₂=2，
由Tn=f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n

n

)得，Tn=f(

n

n

)+…+f(

2

n

)+f(

1

n

)+f(0)，
∴2Tn=[f(0)+f(

n

n

)]+[f(

1

n

)+f(

n-1

n

)]+…+[f(

n

n

)+f(0)]=2(n+1)，
∴T_n=n+1．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，an=

2

Tn

=

2

n+1

，不等式a_n+a_n+1+a_n+2+…+a_2n-1＞log_a（1-2a）即為

2

n+1

+

2

n+2

+…+

2

2n

＞loga(1-2a)，
設H_n=

2

n+1

+

2

n+2

+…+

2

2n

，
則 H_n+1=

2

n+2

+

2

n+3

+…+

2

2n

+

2

2n+1

+

2

2n+2

，
∴Hn+1-Hn=

2

2n+1

+

2

2(n+1)

-

2

n+1

=

2

2n+1

-

2

2n+2

＞0，
∴數列{H_n}是單調遞增數列，
∴（H_n）_min=T₁=1，（10分）
要使不等式恒成立，只需log_a（1-2a）＜1，
即log_a（1-2a）＜log_aa，
∴

0＜a＜1 1-2a＞0 1-2a＞a

或

a＞1 1-2a＞0 1-2a＜a

解得0＜a＜

1

3

．
故使不等式對于任意正整數n恒成立的a的取值范圍是(0，

1

3

)．（12分）

點評：此題考查函數的恒成立問題以及函數的數列特性，是一道綜合題，本題計算量比較大，考查學生的計算能力，考查的知識點也比較全面；