Question

某學(xué)校為了解高三年級(jí)學(xué)生寒假期間的學(xué)習(xí)情況，抽取甲、乙兩班，調(diào)查這兩個(gè)班的學(xué)生在寒假期間每天平均學(xué)習(xí)的時(shí)間（單位：小時(shí)），統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪成頻率分布直方圖（如圖）．已知甲、乙兩班學(xué)生人數(shù)相同，甲班學(xué)生每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間的有8人．

（1）求直方圖中的值及甲班學(xué)生每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間的人數(shù)；
（2）從甲、乙兩個(gè)班每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間大于10個(gè)小時(shí)的學(xué)生中任取4人參加測(cè)試，設(shè)4人中甲班學(xué)生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

（1）；3（2）詳見(jiàn)解析

試題分析：（1）頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積表示概率，概率和為1，則可求得。因?yàn)榧装鄬W(xué)生每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間的有8人，根據(jù)公式可求得甲班學(xué)生總數(shù)，再根據(jù)可得甲班學(xué)生每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間的人數(shù)。（2）乙兩個(gè)班每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間大于10個(gè)小時(shí)的學(xué)生仍用公式可求得為4人。的可能取值為0、1、2、3.根據(jù)古典概型概率公式可得各取值時(shí)的概率，從而可得其分布列，再根據(jù)期望公式可求其期望值。
解：⑴ 由直方圖知，，解得，
因?yàn)榧装鄬W(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間的有8人，
所以甲班的學(xué)生人數(shù)為，
所以甲、乙兩班人數(shù)均為40人．所以甲班學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間的人數(shù)為（人）．
⑵ 乙班學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間的人數(shù)為（人）．
由⑴知甲班學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間的人數(shù)為3人，
在兩班中學(xué)習(xí)時(shí)間大于10小時(shí)的同學(xué)共7人，的所有可能取值為0，1，2，3．
，
，
，
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所以隨機(jī)變量的分布列為：

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