Question

某公司全年的利潤為b元，其中一部分作為獎金發給n位職工，獎金分配方案如下:首先將職工按工作業績(工作業績均不相同)從大到小，由1到n排序，第1位職工得獎金元，然后再將余額除以n發給第2位職工，按此方法將獎金逐一發給每位職工，并將最后剩余部分作為公司發展基金.
(1)設a_k(1≤k≤n)為第k位職工所得獎金金額，試求a₂,a₃，并用k、n和b表示a_k(不必證明)；
(2)證明a_k＞a_k+1(k=1,2,…,n－1),并解釋此不等式關于分配原則的實際意義；
(3)發展基金與n和b有關，記為P_n(b),對常數b，當n變化時，求P_n(b).

Answer 1

(1) a_k= (1－)^k－1b; (2) 獎金分配方案體現了“按勞分配”或“不吃大鍋飯”的原則；(3).

(1)第1位職工的獎金a₁=，
第2位職工的獎金a₂=(1－)b，
第3位職工的獎金a₃=(1－)²b，…，
第k位職工的獎金a_k= (1－)^k－1b;
(2)a_k－a_k+1=(1－)^k－1b＞0，此獎金分配方案體現了“按勞分配”或“不吃大鍋飯”的原則。
(3)設f_k(b)表示獎金發給第k位職工后所剩余數，
則f₁(b)=(1－)b,f₂(b)=(1－)²b,…,f_k(b)=(1－)^kb.
得P_n(b)=f_n(b)=(1－)ⁿb,
故.