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【題目】如圖所示，在正方體中，E是棱的中點.

（Ⅰ）求直線BE與平面所成的角的正弦值；

（Ⅱ）在棱上是否存在一點F，使平面？證明你的結論.

【答案】（1）；（2）詳見解析

【解析】

設正方體的棱長為1.如圖所示，以為單位正交基底建立空間直角坐標系.

（Ⅰ）依題意，得，

所以.

在正方體中，因為,所以是平面的一個法向量，設直線BE和平面所成的角為，則

即直線BE和平面所成的角的正弦值為.

（Ⅱ）在棱上存在點F，使.

事實上，如圖所示，分別取和CD的中點F，G，連結.因,且,所以四邊形是平行四邊形，因此.又E,G分別為，CD的中點，所以，從而.這說明，B，G，E共面，所以.

因四邊形與皆為正方形，F，G分別為和CD的中點，所以

，且，因此四邊形是平行四邊形，所以.而，，故.

練習冊系列答案

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，

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①在學生甲獲得獎學金的條件下，求他獲得一等獎學金的概率；

②已知甲、乙兩名學生獲得哪個等第的獎學金是相互獨立的，求甲、乙兩名學生所獲得獎學金總金額的分布列及數學期望

附：

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（1）求的值；

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