Question

（2012•荊州模擬）設二次函數f（x）=mx²+nx+t的圖象過原點，g（x）=ax³+bx-3（x＞0），f（x），g（x）的導函數為f′（x），g′（x），且f′（0）=0，f′（-1）=-2，f（1）=g（1），f′（1）=g′（1）．
（1）求函數f（x），g（x）的解析式；
（2）求F（x）=f（x）-g（x）的極小值；
（3）是否存在實常數k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m？若存在，求出k和m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知得t=0，求出導數f′（x）=2mx+n，由f′（0）=n=0，f′（-1）=-2m+n=-2，解得n=0，m=1，得出f（x）=x²f′（x）=2x，g′（x）=3ax²+b．再由條件列出關于a，b的方程，求得a，b即可寫出函數f（x），g（x）的解析式；
（2）F（x）=f（x）-g（x）=x³+x²-5x+3（x＞0），先確定函數的定義域然后求出函數的導涵數Fˊ（x），在函數的定義域內解不等式Fˊ（x）＞0和Fˊ（x）＜0，即可求出函數的單調區間，然后根據極值的定義進行判定極值即可．（3）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在函數f（x）在點（1，1）的切線方程為y=2x-1滿足條件，再利用導數，求出h（x）=-x³+5x-3-（2x-1）的最大值進行驗證，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）由已知得t=0，f′（x）=2mx+n，
則f′（0）=n=0，f′（-1）=-2m+n=-2，從而n=0，m=1，
∴f（x）=x²f′（x）=2x，g′（x）=3ax²+b．
由f（1）=g（1），f′（1）=g′（1），得a+b-3=1，3a+b=2，解得a=-1，b=5．∴g（x）=-x³+5x-3（x＞0）．
（2）F（x）=f（x）-g（x）=x³+x²-5x+3（x＞0），
求導數得F′（x）=3x²+2x-5=（x-1）（3x+5）．∴F（x）在（0，1）單調遞減，在（1，+∞）單調遞增，從而F（x）的極小值為F（1）=0．
（3）因f（x）與g（x）有一個公共點（1，1），而函數f（x）在點（1，1）的切線方程為y=2x-1．
下面驗證

f(x) ≥2x-1       g(x)≤2x-1

都成立即可．
由x²-2x+1≥0，得x²≥2x-1，知f（x）≥2x-1恒成立．
設h（x）=-x³+5x-3-（2x-1），即h（x）=-x³+3x-2（x＞0），
求導數得h′（x）=-3x²+3=-3（x-1）（x+1）（x＞0），∴h（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，所以h（x）=-x³+5x-3-（2x-1）的最大值為h（1）=0，
所以-x³+5x-3≤2x-1恒成立．
故存在這樣的實常數k和m，且k=2，m=-1．

點評：本小題主要考查函數的導數，單調性，利用導數求閉區間上函數的最值等基礎知識，考查綜合利用數學知識分析問題、解決問題的能力，注意（3）的處理存在性問題的一般方法，首先假設存在，進而根據題意、結合有關性質，化簡、轉化、計算，最后得到結論．