Question

【題目】設函數，曲線在點處的切線方程為．

（Ⅰ）求、．

（Ⅱ）設，求的最大值．

（Ⅲ）證明函數的圖像與直線沒有公共點．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）， ．（Ⅱ）．（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（1）由導數的定義知， ，求得， ；（2）， 在上單調遞增，在上單調遞減， 在的最大值為；（3）函數的圖像與直線沒有公共點等價于，等價于，即，通過求導可證。

試題解析：

（Ⅰ）函數的定義域為，

由題意可得， ，

故， ．

（Ⅱ），則，

當時， ，當時， ，

∴在上單調遞增，在上單調遞減，

∴在的最大值為．

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，

又，

∴函數的圖像與直線沒有公共點等價于，

而等價于，

設函數，則，

∴當時， ，

當時， ，

∴在上單調遞減，在上單調遞增，

∴在的最小值為，

綜上，當時， ，

即，

故函數的圖像與直線沒有公共點．