Question

已知函數f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx．
（1）求函數f（x）在區間[-

π

6

，

π

3

]上的值域；
（2）在△ABC中，若f（A+B）=2，求tanC的值．

Answer 1

分析：f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，
（1）根據x的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數的值域即可確定出f（x）的值域；
（2）根據f（A+B）=2，由第一問確定的解析式，求出A+B的度數，進而確定出C的度數，即可求出tanC的值．

解答：解：f（x）=cos2x+1+

3

sin2x=2（

1

2

cos2x+

3

2

sin2x）+1=2sin（2x+

π

6

）+1，
（1）∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
即0≤2sin（2x+

π

6

）+1≤3，
則f（x）在[-

π

6

，

π

3

]上的值域是[0，3]；
（2）由（1）得：f（A+B）=2sin[2（A+B）+

π

6

]=2，
即sin[2（A+B）+

π

6

]=1，
∴2（A+B）+

π

6

=

π

2

+2kπ，k∈Z，
即A+B=kπ+

π

6

，k∈Z，
∵A與B為△ABC的內角，
∴A+B=

π

6

，
即C=

5π

6

，
則tanC=tan

5π

6

=-tan

π

6

=-

3

3

．

點評：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，以及正弦函數的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關鍵．