Question

（2012•通州區一模）已知橢圓C的焦點在y軸上，離心率為

2

2

，且短軸的一個端點到下焦點F的距離是

2

．
（I）求橢圓C的標準方程；
（II）設直線y=-2與y軸交于點P，過點F的直線l交橢圓C于A，B兩點，求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設橢圓C的方程，利用短軸的一個端點到下焦點F的距離是

2

，離心率為

2

2

，可求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F（0，-1），P（0，-2），且直線l的斜率存在，設其方程代入橢圓方程，從而可表示△PAB面積，利用基本不等式，即可求得△PAB面積的最大值．

解答：解：（Ⅰ）因為橢圓C的焦點在y軸上，所以設橢圓C的方程是

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）．…（1分）
因為短軸的一個端點到下焦點F的距離是

2

，離心率為

2

2

所以a=

2

，c=1
所以b²=a²-c²=1
所以橢圓C的標準方程是

y2

2

+x2=1                 …（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F（0，-1），P（0，-2），且直線l的斜率存在，
設其方程為：y=kx-1，代入橢圓方程可得（2+k²）x²-2kx-1=0…（6分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以x₁+x₂=

2k

2+k2

，x₁x₂=

-1

2+k2

．…（7分）
所以△PAB面積S_△PAB=

1

2

|PF||x₁-x₂|（x₁，x₂異號）．
所以S_△PAB=

1

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 (1+k2)+ 1 1+k2 +2

≤

2

2

…（12分）
當且僅當1+k2=

1

1+k2

，即k=0時，S_△PAB有最大值是

2

2

所以當k=0時，△PAB面積的最大值是

2

2

…（13分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．