Question

數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n（n∈N⁺）．
（Ⅰ）證明數列{S_n}是等比數列；
（Ⅱ）求數列{a_n}的通項a_n；
（Ⅲ）求數列{n•a_n}的前n項和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）∵a_n+1=2S_n，∴S_n+1-S_n=2S_n，∴

Sn+1

Sn

=3．
又∵S₁=a₁=1，
∴數列{S_n}是首項為1，公比為3的等比數列，S_n=3^n-1（n∈N^*）．…（4分）
（Ⅱ）當n≥2時，a_n=2S_n-1=2•3^n-2（n≥2），

∴an= 1，(n=1) 2•3n-2，(n≥2).

…（8分）
（Ⅲ）T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n，
當n=1時，T₁=1；
當n≥2時，T_n=1+4•3⁰+6•3¹+…+2n•3^n-2，…①
3T_n=3+4•3¹+6•3²+…+2n•3^n-1，…②…（11分）
①-②得：-2T_n=-2+4+2（3¹+3²+…+3^n-2）-2n•3^n-1
=2+2•

3(1-3n-2)

1-3

-2n•3n-1=-1+(1-2n)•3n-1
∴Tn=

1

2

+(n-

1

2

)3n-1(n≥2)．…（13分）
又∵T₁=a₁=1也滿足上式，
∴Tn=

1

2

+(n-

1

2

)3n-1(n∈N*)．…（14分）