Question

（本題滿分15分）已知正方體的棱長為1，點在上，點在上，且
（1）求直線與平面所成角的余弦值；
（2）用表示平面和側面所成的銳二面角的大小，求；
（3）若分別在上，并滿足，探索：當的重心為且時，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）  （2），則（3） .                   

第一問中利用以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系
設為平面的法向量，又正方體的棱長為1，
借助于，得到結論
第二問中，，是平面的法向量
，又平面和側面所成的銳二面角為
，則 
第三問中，因為分別在上，且
故，
所以當的重心為
然后利用垂直關系得到結論。
解：（1）以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系
又正方體的棱長為1，
設為平面的法向量
 令，則

設直線與平面所成角為，
直線與平面所成角的余弦值為         （5分）
（2），是平面的法向量
，又平面和側面所成的銳二面角為
，則         （5分）
（3）因為分別在上，且
故，
所以當的重心為，而
，
當時，
為恒等式
所以，實數的取值范圍為                    （5分）