Question

【題目】已知函數fn（x）= x3﹣ （n+1）x2+x（n∈N*），數列{an}滿足an+1=f'n（an），a1=3．
（1）求a2 ， a3 ， a4；
（2）根據（1）猜想數列{an}的通項公式，并用數學歸納法證明；
（3）求證： + +…+ ＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，a1=3，又 ，

∴ ， ，

（2）解：猜想an=n+2，用數學歸納法證明：

當n=1時顯然成立，

假設當n=k（k∈N*）時，ak=k+2，

則當n=k+1（k∈N*）時，

ak+1=ak2﹣（k+1）ak+1=（k+2）2﹣（k+1）（k+2）+1，

=k+3=（k+1）+2，

∴當n=k（k∈N*）時，猜想成立．

根據數學歸納法對一切n∈N*，an=n+2均成立

（3）證明：當k≥2時，有 ＜ ，

∴n≥2時，有 ＜1+ [（1﹣ ）+（ ﹣ ）+…（ ﹣ ）]

=1+ （1﹣ ）＜1+ = ．

又n=1時， =1＜ ．

故對一切n∈N*，有 ＜

【解析】（1）先求導，再根據遞推公式分別求出a2 ， a3 ， a4；（2）利用數學歸納法證明即可，（3）利用裂項求和和放縮法即可證明．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數學歸納法的定義的相關知識，掌握數學歸納法是證明關于正整數n的命題的一種方法．