Question

（本小題滿分12分）

已知拋物線C：y²＝2px(p>0)過點A(1，－2)．

(1)求拋物線C的方程，并求其準線方程；

(2)是否存在平行于OA(O為坐標原點)的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點，且直線OA與l的距離等于？若存在，求直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：(1)將(1，－2)代入y²＝2px，得(－2)²＝2p·1，所以p＝2.

故所求拋物線C的方程為y²＝4x，其準線方程為x＝－1.

(2)假設存在符合題意的直線l，其方程為y＝－2x＋t，

由得y²＋2y－2t＝0.

因為直線l與拋物線C有公共點，所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.

由直線OA與l的距離d＝可得＝，解得t＝±1.

因為－1∉，1∈，

所以符合題意的直線l存在，其方程為2x＋y－1＝0.