Question

已知函數f（x）=，x∈[1，3]，
（1）求f（x）的最大值與最小值；
（2）若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（1）的最大值為，最小值為；（2）.

試題分析：（1）先求導函數，再求的根，再判斷根兩側導數的符號，進而判斷函數大致圖象，再從大致圖象并比較端點函數值的大小來確定最大值和最小值；（2）恒成立問題關鍵搞清變量和參數的關系，一般遵循“知道誰的范圍，誰是變量；求誰的范圍，誰是參數”的原則，該題中首先利用的最大值小于，得關于恒成立的不等式，再根據，求參數的范圍.
試題解析：（1）因為函數，所以，令得，因為，
當時 ；當時，；∴在上單調減函數，在上單調增函數，∴在處取得極小值； 又，，∵∴∴，
∴時的最大值為，時函數取得最小值為．
（2）由（1）知當時，，故對任意，恒成立，
只要對任意恒成立，即恒成立，記，
∴，解得，∴實數a的取值范圍是．