Question

下列說法中：
①函數y=lg（x²-ax-a）的值域為R，則a∈（-4，0）；
②O是△ABC所在平面上一定點，動點P滿足

OP

=

OA

+λ(

AB

+

AC

)且λ∈[0，+∞），則P的軌跡一定經過△ABC的內心；
③要得到函數y=f（1-x）的圖象只需將y=f（-x）的圖象向左平移1個單位；
④若函數f(x)=x+lo

g

2

(x+

x2+1

)，則“m+n≥0”是“f（m）+f（n）≥0”的充要條件．
其中正確的序號是

④

．

Answer 1

分析：①函數y=lg（x²-ax-a）的值域為R，就是g（x）=ax²+ax+1的值域為[0，+∞），根據△≥0，進行求解；
②根據動點P滿足

OP

=

OA

+λ(

AB

+

AC

)進行移項，發現

AP

與

AB

+

AC

的關系進行判斷；
③根據平移的性質進行判斷，注意“左加右減”；
④已知函數f(x)=x+lo

g

2

(x+

x2+1

)，證明f（x）是奇函數又是增函數即可證明；

解答：解：①∵函數y=lg（x²-ax-a）的值域為R，
可得ax²+ax+1的值域為[0，+∞），
∴△≥0，即（-a）²-4×（-a）=a²+4a≥0，解得a≥0或a≤-4；故①錯誤；
②O是△ABC所在平面上一定點，動點P滿足

OP

=

OA

+λ(

AB

+

AC

)，
∴

AP

=λ（

AB

+

AC

），說明p在邊BC的中線上，λ∈[0，+∞），
∴P的軌跡一定經過△ABC的重心，故②錯誤；
③y=f（-x）的圖象向左平移1個單位可得y=f[-（x+1）]=f（-x-1），
故③錯誤；
④因為函數f(x)=x+lo

g

2

(x+

x2+1

)，f（-x）=-x+log2(-x+

(-x)2+1

)
=-[x+log2

1

x2+1 -x

]
=-[x+lo

g

2

(x+

x2+1

)]=-f（x），f（x）是奇函數，
又f（x）為增函數，∴f（x）在R上是單調增函數，
若“m+n≥0”可得m≥-n，可得f（m）≥f（-n），可得f（m）≥-f（n）即“f（m）+f（n）≥0”；
若“f（m）+f（n）≥0”，可得f（m）≥-f（n）=f（-n），∴m≥-n即m+n≥0，
∴“m+n≥0”是“f（m）+f（n）≥0”的充要條件故④正確．
故④正確，
故答案為：④

點評：此題是一道綜合題，考查了二次函數的性質、向量平移的性質、函數的單調性及奇偶性的應用，是一道基礎題，難度不大；