Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=2an﹣2（n∈N*），數(shù)列{bn}滿足bn=（2n﹣1）an，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn（n∈N*），

（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn；

（3）求 的最小值以及取得最小值時(shí)n的值．

Answer 1

【答案】（1）an=（2n﹣1）2n （2）Tn=（2n﹣3）2n+1+6 （3）n=3時(shí)，最小值為16

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，，相減可得，利用等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式，即可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得的通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可得出數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）利用（2）可得 ，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)即可得結(jié)果．

（1）當(dāng)n=1時(shí)，S1=2a1﹣2，所以a1=2．

當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=2an﹣2, Sn﹣1=2an﹣1﹣2，

兩式相減可得，

an=2an﹣2an﹣1，an=2an﹣1，

∴{an}為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，

∴an=2n

bn=（2n﹣1）2n．

（2）因?yàn)?/span>Tn=121+322+523+…+（2n﹣3）2n﹣1+（2n﹣1）2n；①

所以2Tn=122+323+…+（2n﹣5）2n﹣1+（2n﹣3）2n+（2n﹣1）2n+1；②

由①﹣②得﹣Tn=2+23+24+…+2n+1﹣（2n﹣1）2n+1，

化簡(jiǎn)得Tn=（2n﹣3）2n+1+6．

（3）=4n﹣6+，

當(dāng)，即n=3時(shí)，最小值為16．