Question

已知冪函數f（x）=x^a和對數函數g（x）=log_ax，其中a為不等于1的正數
（1）若冪函數的圖象過點（27，3），求常數a的值，并說明冪函數f（x）的單調性；
（2）若0＜a＜1，且函數y=g（x+3）在區間[-2，-1]上總有|y|≤2，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將點的坐標代入冪函數解析式求出α，據α＞0，冪函數單調遞增．
（2）求出函數的解析式，根據0＜a＜1時，對數函數單調遞減，求出函數的最值，列出不等式求出a的范圍．

解答：解：（1）∵冪函數的圖象過點（27，3），
∴3=27^α
∴a=

1

3

，
∴f(x)=x

1

3

故函數在（-∞，+∞）上是單調增函數
（2）y=g（x+3）=log_a（x+3）
∵0＜a＜1，
∴y=log_a（x+3）在區間[-2，-1]上單調遞減
所以當x=-2時y取得最大值0，當x=-1時y取得最小值log_a2
∵|y|≤2
∴-log_a2≤2
a∈(0，

2

2

]

點評：本題考查利用待定系數法求函數的解析式、冪函數的性質、對數函數的單調性及解對數不等式．