Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）探究函數的單調性；

（Ⅱ）若在上恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：

(Ⅰ)對函數求導有，分類討論：若， 在上單調遞增；若， 在上單調遞減，在上單調遞增.

(Ⅱ)原問題即在上恒成立.構造函數：令，則，考查分子部分，令 ，則是上的增函數.據此分類討論：①當時， 成立.②當時， 不可能恒成立.綜合上述，實數的取值范圍是.

試題解析：

（Ⅰ）依題意， ，函數，

若， ，函數在上單調遞增；

若，當時， ，當時， ，

函數在上單調遞減，在上單調遞增.

（Ⅱ）依題意， ，即在上恒成立.

令，則 ，

令 ，則是上的增函數，即.

①當時， ，所以，因此是上的增函數，

則，因此時， 成立.

②當時，令，得，

求得，（由于，所以舍去）

當時， ，則在上遞減，

當時， ，則在上遞增，

所以當時， ，

因此時， 不可能恒成立.

綜合上述，實數的取值范圍是.