Question

在直角坐標系xoy中，圓O的方程為x²+y²=1．
（1）若直線l與圓O切于第一象限且與坐標軸交于點A，B，當|AB|最小時，求直線l的方程；
（2）若A，B是圓O與x軸的交點，C是圓在直徑AB的上方的任意一點，過該點作CD⊥AB交圓O于點D，當點C在圓O上移動時，求證：∠OCD的角平分線經過圓O上的一個定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

分析：（1）設出直線方程，利用直線與圓相切，建立方程，利用基本不等式求出|AB|的最小值，從而可求直線l的方程；
（2）設∠OCD的角平分線為CP，交圓于P，證明OP⊥AB，即可求得結論．

解答：（1）解：設直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1(a＞0，b＞0)，則

1

1 a2 + 1 b2

=1，
∴

1

a2

+

1

b2

=1，∴ab≥2（當且僅當a=b=

2

時，取等號）
∴|AB|=

a2+b2

≥

2ab

≥2（當且僅當a=b=

2

時，取等號）
即|AB|最小為2，此時直線l的方程為x+y-

2

=0；
（2）證明：設∠OCD的角平分線為CP，交圓于P，則∠OCP=∠DCP
因為OC、OP為圓的半徑，所以∠OCP=∠OPC，所以∠DCP=∠OPC
所以CD∥OP
因為CD⊥AB，A、B為定點，所以OP⊥AB
所以P為定點，坐標為（0，-1）

點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查基本不等式的運用，考查直線恒過定點，屬于中檔題．