Question

【題目】在三棱柱中中，側面為矩形， 是的中點， 與交于點，且平面．

（1）證明： ；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）證明線線垂直，一般利用線面垂直判定與性質定理，經多次轉化得到，而線線垂直的尋找與論證，往往需要結合平幾知識進行：如本題就可利用三角形相似得到，再由線面垂直平面得到線線垂直，因此得到平面，即（2）由（1）中垂直關系可建立空間直角坐標系，利用空間向量求線面角：先求出各點坐標，表示出直線方向向量，再利用方程組解出平面法向量，利用向量數量積求出向量夾角，最后根據線面角與向量夾角互余關系求解

試題解析：（1）由題意，

又，∴，

∴，

∵，∴，又平面，∴，

∵與交于點，∴平面，又平面，

∴．

（2）

如圖，分別以所在直線為軸，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，

設平面的法向量為，

則，即，

令，則，所以．

設直線與平面所成角為，則