Question

已知函數對任意的恒有成立.
(1)當b=0時，記若在）上為增函數，求c的取值范圍；
(2)證明：當時，成立；
(3)若對滿足條件的任意實數b，c，不等式恒成立，求M的最小值.

Answer 1

（1）；（2）證明見解析；（3）．

試題分析：（1）首先要討論題設的先決條件對恒成立，，即恒成立，這是二次不等式，由二次函數知識，有，化簡之后有，從而．時，在上是增函數，我們用增函數的定義，即設，恒成立，分析后得出的范圍；（2）
，問題變成證明在時恒成立，在的情況下，，而，可見，那當時，一定恒有，問題證畢；（3）由（2），在時，，這時柺驗證不等式成立，當時，不等式可化為，因此要求的最大值或者它的值域，
，而，因此，由此的取值范圍易得，的最小值也易得．
試題解析：（1）因為任意的恒有成立，
所以對任意的，即恒成立.
所以，從而.，即：.
當時，記（）
因為在上為增函數，所以任取，，
恒成立.
即任取，，成立，也就是成立.
所以，即的取值范圍是.
（2）由（1）得，且，
所以，因此.
故當時，有.
即當時，.
（3）由（2）知，，
當時，有
設，則，
所以，由于的值域為，
因此當時，的取值范圍是；
當時，由（1）知，.此時或0，，
從而恒成立.
綜上所述，的最小值為.