Question

【題目】已知函數f（x）=mln（x+1）﹣nx在點（1，f（1））處的切線與y軸垂直，且 ，其中 m，n∈R．
（Ⅰ）求m，n的值，并求出f（x）的單調區間；
（Ⅱ）設g（x）=﹣x2+2x，確定非負實數a的取值范圍，使不等式f（x）+x≥ag（x）在[0，+∞）上恒成立．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）對f（x）求導，得 ，
若f（x）在點（1，f（1））處的切線與y軸垂直，
則 ，又 ，則 ，
由 ，求得 ，
所以f（x）=2ln（x+1）﹣x，定義域為（﹣1，+∞），
對f（x）求導，得 ，
由f'（x）＞0，求得﹣1＜x＜1，即f（x）的單調遞增區間為（﹣1，1）；
由f'（x）＜0，求得x＞1，即f（x）的單調遞減區間為（1，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，不等式f（x）+x≥ag（x）即是2ln（x+1）≥a（﹣x2+2x），
于是問題可轉化為不等式2ln（x+1）﹣a（﹣x2+2x）≥0在[0，+∞）上恒成立時，確定非負實數a的取值范圍，
記h（x）=2ln（x+1）﹣a（﹣x2+2x），則 ，
① 當a=0時，對 ，則h（x）在[0，+∞）上為增函數，
②當a＞0時，令h'（x）=0，則ax2+1﹣a=0，當1﹣a≥0，
即0＜a≤1時，對x≥0，h'（x）＞0，則h（x）在[0，+∞）上為增函數，
所以h（x）=h（0）=0，此時命題成立；
當1﹣a＜0，即a＞1時，由ax2+1﹣a=0，
求得 ．h（x），h'（x）的變化情況如表：

x	0	（0，x2）	x2	（x2 ， +∞）
h'（x）		﹣	0	+
h（x）		↘	極小值	↗

因為h（x）min=h（x2）＜h（0）=0，
所以當x≥0時，命題不成立
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，得到關于m，n的方程組，求出m，n的值，從而求出f（x）的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（Ⅱ）問題可轉化為不等式2ln（x+1）﹣a（﹣x2+2x）≥0在[0，+∞）上恒成立時，確定非負實數a的取值范圍，記h（x）=2ln（x+1）﹣a（﹣x2+2x），根據函數的單調性求出a的范圍即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．