Question

【題目】如圖所示，已知橢圓： 的長軸為，過點的直線與軸垂直，橢圓上一點與橢圓的長軸的兩個端點構成的三角形的最大面積為2，且橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2） 設是橢圓上異于， 的任意一點，連接并延長交直線于點， 點為的中點，試判斷直線與橢圓的位置關系，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）（2）直線與橢圓相切于點，證明見解析

【解析】試題分析： 根據條件和離心率公式可以求得， ，即可求出橢圓的標準方程； 設，由的坐標求得直線的方程，得到點的坐標，又因為

為中點，求出的坐標，得到直線的方程，聯立橢圓方程，利用判別式求得結論

解析：（1）依題設條件可得： ， .又，解得， ，所以橢圓的標準方程為.

（2）直線與橢圓相切于點.證明如下：

設點，又，所以直線的方程為.令，得，即點.又點， 為中點，所以.

于是直線的方程為 ，即 .

因為，所以，所以 ，整理得到，由消去并整理得到： ，即，此方程的判別式，所以直線與橢圓相切于點.