Question

下列命題中正確的是（　　）

• A．函數(shù)y=f（1+x）與函數(shù)y=f（1-x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱
• B．若f（x）為奇函數(shù)，f（1-x）為偶函數(shù)，則f（x+2）為奇函數(shù)
• C．不是常值函數(shù)的周期函數(shù)都有最小正周期
• D．f（x）的周期為T，則f（

  x

  3

  ）的周期為

  T

  3

Answer 1

分析：A．函數(shù)y=f（1+x）與函數(shù)y=f（1-x）的圖象關(guān)于直線y軸對(duì)稱．B．利用函數(shù)的就行的性質(zhì)進(jìn)行判斷．C．根據(jù)周期函數(shù)的定義和性質(zhì)判斷．D根據(jù)周期函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)判斷．

解答：解：A．函數(shù)y=f（1+x）與函數(shù)y=f（1-x）的圖象關(guān)于直線y軸對(duì)稱．所以A錯(cuò)誤．
B．因?yàn)閒（1-x）為偶函數(shù)，所以f（1+x）=f（1-x）=-f（x-1），所以f（x+2）=-f（x），即f（x+4）=f（x），所以函數(shù)的周期是4．
所以f（x+2）=f（x+2-4）=f（x-2），要使函數(shù)f（x+2）為奇函數(shù)，則f（-x+2）=-f（x+2）=-f（x-2），即f（x+2）=f（x-2），
所以f（x+2）為奇函數(shù)，所以B正確．
C．對(duì)于函數(shù)D(x)=

1，x∈Q 0，x∉Q

，是周期函數(shù)，但沒(méi)有最小正正確，所以C錯(cuò)誤．
D．設(shè)f（x）=sinx，則周期T=2π，f（

x

3

）=sin

x

3

，此時(shí)周期為

2π

1 3

=6π=3T，所以D錯(cuò)誤．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查函數(shù)的奇偶性和周期性的性質(zhì)，利用奇偶性和周期性的定義是研究函數(shù)性質(zhì)的基本方法，綜合性較強(qiáng)．