Question

如圖，設拋物線的焦點為，動點在直線上
運動，過P作拋物線C的兩條切線PA，PB，且與拋物線C分別相切于A，B兩點．
（1）求△APB的重心G的軌跡方程．
（2）證明∠PFA=∠PFB．

Answer 1

（1）；（2）見解析.

本試題主要考查了軌跡方程的求解和證明角的相等問題。
解：（1）設切點，坐標分別為和，
切線的方程為：；切線的方程為：；
由于既在又在上，所以 解得， 
所以的重心的坐標為，
，
所以，由點在直線上運動，從而得到重心的軌跡方程為：
，即．
（2）方法1：因為，，．
由于點在拋物線外，則．
，
同理有，
．
方法2：①當時，由于，不妨設，則，所以P點坐標為，則P點到直線AF的距離為：；而直線的方程：，
即．所以P點到直線BF的距離為： 所以，即得．
②當時，直線AF的方程：，即，
直線的方程：，即，
所以P點到直線AF的距離為：
，
同理可得到P點到直線BF的距離，因此由，可得到．