Question

已知函數f（x）=e^x，如果x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，下列關于f（x）的性質：
①（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0；
②y=f（x）不存在反函數；
③f(x1)+f(x2)＜2f(

x1+x2

2

)；
④方程f（x）=x²在（0，+∞）上沒有實數根，其中正確的是（　　）

• A、①②
• B、①④
• C、①③
• D、③④

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數的性質及應用

分析：利用函數的單調性判斷①的正誤；通過函數具有反函數的性質判斷②的正誤；利用函數的凹凸性判斷③的正誤；函數的零點判斷④的正誤．

解答：解：函數f（x）=e^x，函數是單調增函數，如果x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，
①（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0；說明函數是增函數，滿足題意，∴①正確；
②y=f（x）不存在反函數；函數有反函數函數必須是單調函數，∴②不正確；
③具有性質f(x1)+f(x2)＜2f(

x1+x2

2

)的函數是凸函數，而f（x）=e^{x_是凹函數}；∴③不正確；
④方程f（x）=x²，即e^x=x²，函數f（x）=e^x，g（x）=x²．在（0，+∞）上沒有交點，就是說分沒有實數根，∴④正確．
綜上正確的結果為：①④．
故選：B．

點評：本題考查函數的基本性質的應用，函數的單調性、反函數函數的凹凸性以及函數的零點，基本知識考查．