Question

【題目】已知f（x）＝ax－ －5ln x，g（x）＝x2－mx＋4.

（1）若x=2是函數f（x）的極值點，求a的值；

（2）當a＝2時，若x1∈（0,1），x2∈[1,2]，都有f（x1）≥g（x2）成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）[8－5ln 2，＋∞）．

【解析】

試題分析：（1）由極值的定義知，只要求出，據此可求得；（2）命題“若x1∈（0,1），x2∈[1,2]，都有f（x1）≥g（x2）成立”，可轉化為，因此只要求出兩函數的最大值可列出相應不等式得出的范圍，考慮到是二次函數，二次項系數為正，因此最大值在區間的兩端點處取得，為了避免討論可列出不等式組．

試題解析：（1），又因為2是極值點，則，由此，

經檢驗，當時，2是極值點，故滿足題意

（2）當a＝2時，f（x）＝2x－ －5ln x，

∴當x∈（0，）時，f ′（x）>0，f（x）單調遞增；

當x∈（，1）時，f ′（x）<0，f（x）單調遞減．

∴在（0,1）上，f（x）max＝f（）＝－3＋5ln2.

又“x1∈（0,1），x2∈[1,2]，都有f（x1）≥g（x2）成立”等價于“f（x）在（0,1）上的最大值不小于g（x）在[1,2]上的最大值”，而g（x）在[1,2]上的最大值為max{g（1），g（2）}，

∴，即

解得m≥8－5ln 2.

∴實數m的取值范圍是[8－5ln 2，＋∞）